Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+a

2x+1

，且函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜

1

2

，求x的取值范圍；
（Ⅲ）證明f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)為奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），建立關(guān)于x的恒等式，利用系數(shù)為0即可得a的范圍．
（Ⅱ）代入f（x）的解析式，然后化為整式不等式得到2^x＜3，從而解得x的范圍．
（Ⅲ）先設(shè)自變量值任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，然后通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即得函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即

2-x+a

2-x+1

+

2x+a

2x+1

=0，

1+a•2x

2x+1

+

2x+a

2x+1

=0?(a+1)(2x+1)=0?a=-1
（Ⅱ）∵

2x-1

2x+1

＜

1

2

?2(2x-1)＜2x+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y'=2^x在R上為增函數(shù)，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上為增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及解不等式，定義是解決問題的根本，是個中檔題．