Question

如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R，內(nèi)心為I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分線交圓O于E．
證明：
（1）IO=AE；  
（2）2R＜IO+IA+IC＜（1+）R．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠B=60°，知∠AOC=∠AIC=120°．故A，O，I，C四點(diǎn)共圓．圓心為弧AC的中點(diǎn)F，半徑為R．由O為⊙F的弧AC中點(diǎn)，設(shè)OF延長線交⊙F于H，AI延長線交弧BC于D．由∠EAD=90°（內(nèi)外角平分線）知DE為⊙O的直徑．∠OAD=∠ODA．由此能夠證明AE=IO．
（2）由△ACH為正三角形，易證IC+IA=IH，由OH=2R，知IO+IA+IC=IO+IH＞OH=2R，設(shè)∠OHI=α，則0＜α＜30°．故IO+IA+IC=IO+IH=2R（sinα+cosα）=2Rsin（α+45°），由此能夠證明2R＜IO+IA+IC＜（1+）R．
解答：（1）證明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．
∴A，O，I，C四點(diǎn)共圓．圓心為弧AC的中點(diǎn)F，半徑為R．
∴O為⊙F的弧AC中點(diǎn)，設(shè)OF延長線交⊙F于H，AI延長線交弧BC于D．
由∠EAD=90°（內(nèi)外角平分線）知DE為⊙O的直徑．∠OAD=∠ODA．
但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，
于是Rt△DAE≌Rt△HIO，
∴AE=IO．
（2）解：由△ACH為正三角形，易證IC+IA=IH，
由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH＞OH=2R，
設(shè)∠OHI=α，則0＜α＜30°．
∴IO+IA+IC=IO+IH=2R（sinα+cosα）=2Rsin（α+45°），
又α+45°＜75°，
故IO+IA+IC＜2 R（+）×=（1+）R．
點(diǎn)評：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．