Question

設(shè)a＞0，方程ax²+x+1=0兩實根為x₁，x₂．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：x₁，x₂都小于-1；

Answer 1

分析：（1）方程ax²+x+1=0有兩實根為x₁，x₂．則方程的△≥0，再結(jié)合a＞0，我們可以聯(lián)立組成一個關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到a的取值范圍．
（2）由韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系），我們易得x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，結(jié)合（1）的結(jié)論，易得：x₁+x₂≤-4，x₁•x₂≥4，利用反證法易證結(jié)論．

解答：解：（1）∵方程ax²+x+1=0有兩實根x₁，x₂．
∴△=1-4a≥0
即a≤

1

4

又∵a＞0
∴滿足條件的a的取值范圍為（0，

1

4

]
（2）由（1）得：a∈(0，

1

4

]
∴x₁+x₂=-

1

a

≤-4，x₁•x₂=

1

a

≥4
則x₁與x₂均小于0
假設(shè)x₁，x₂不都小于-1；
不妨令-1≤x₁＜0
則由x₁+x₂≤-4得
x₂≤-3
則此時x₁•x₂≤3
這與x₁•x₂≥4相矛盾
故假設(shè)不成立，故x₁，x₂都小于-1；

點評：當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證．反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實矛盾等方面．反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．