Question

15．求下列函數(shù)的定義城和值域．
（1）y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$
（2）y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)上的分母不為0求得x的取值集合可得函數(shù)定義域，再求出$\frac{1+x}{1-x}$的范圍，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的值域；
（2）由指數(shù)上根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求得x的取值集合得函數(shù)的定義域，求出$\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$的范圍，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由1-x≠0，得x≠1，∴函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$的定義域?yàn)閧x|x≠1}；
令t=$\frac{1+x}{1-x}=-\frac{x+1}{x-1}=-\frac{x-1+2}{x-1}=-\frac{2}{x-1}-1$，則t≠-1，
∴$（\frac{1}{3}）^{t}≠3$．
則函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$的值域?yàn)椋?，3）∪（3，+∞）；
（2）由-x²-x+2≥0，解得-2≤x≤1．
∴函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$的定義域?yàn)閇-2，1]；
∵$-{x}^{2}-x+2=-（{x}^{2}+x-2）=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$$≤\frac{9}{4}$，
∴$\sqrt{-{x}^{2}-x+2}∈[0，\frac{3}{2}]$，
則${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{9}，1$]．
則函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$的值域?yàn)閇$\frac{\sqrt{3}}{9}，1$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及值域的求法，考查了復(fù)合函數(shù)的值域，解答此類問(wèn)題關(guān)鍵是求出內(nèi)函數(shù)的取值范圍，是中檔題．