Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n＝2a_n－2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a₁，公差不為零的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
(2)求證： <5.

Answer 1

（1）b_n＝3n－1（2）見解析

(1)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝(2a_n－2)－(2a_n－1－2)＝2a_n－2a_n－1，得a_n＝2a_n－1.
又由a₁＝S₁＝2a₁－2，得a₁＝2，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝2ⁿ.
b₁＝a₁＝2，設(shè)公差為d，則由b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，得(2＋2d)²＝2×(2＋10d)，
解得d＝0(舍去)或d＝3，
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n＝3n－1.，
(2)證明：令T_n＝＝，①
2T_n＝2＋，②
②－①得
T_n＝2＋，
所以T_n＝，
又 >0，故T_n<5.