Question

14．已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C和直線l的普通方程；
（Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程可得：t²+2t=0，可得|MN|=|t₁-t₂|．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0，
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程可得：t²+2t=0，解得t₁=0，t₂=-2．
∴|MN|=|t₁-t₂|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．