已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx),其中常數(shù)ω>0

(1)令ω=1,判斷函數(shù)F(x)=f(x)+f(x+)的奇偶性,并說明理由;

(2)令ω=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,對任意a∈R,求y=g(x)在區(qū)間[a,a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值.

 

【答案】

(1)F(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(2)21或20

【解析】

試題分析:(1)f(x)=2sinx,

F(x)=f(x)+f(x+)=2sinx+2sin(x+)=2(sinx+cosx),

F()=2,F(xiàn)(﹣)=0,F(xiàn)(﹣)≠F(),F(xiàn)(﹣)≠﹣F(),

所以,F(xiàn)(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

(2)f(x)=2sin2x,

將y=f(x)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位后得到y(tǒng)=2sin2(x+)+1的圖象,所以g(x)=2sin2(x+)+1.

令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈z),

因為[a,a+10π]恰含10個周期,所以,當a是零點時,在[a,a+10π]上零點個數(shù)21,

當a不是零點時,a+kπ(k∈z)也都不是零點,區(qū)間[a+kπ,a+(k+1)π]上恰有兩個零點,故在[a,a+10π]上有20個零點.

綜上,y=g(x)在[a,a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值為21或20.

考點:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;函數(shù)奇偶性的判斷;根的存在性及根的個數(shù)判斷

點評:本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)的判斷,考查數(shù)形結合思想,結合圖象分析是解決(2)問的關鍵

 

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