Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

3

，且前n項的算術(shù)平均數(shù)等于第n項的2n-1倍（n∈N*）．
（1）寫出此數(shù)列的前5項；
（2）歸納猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}前n項的算術(shù)平均數(shù)等于第n項的2n-1倍，推出關(guān)系式，通過n=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項；
（2）通過（1）歸納出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗證n=1成立；第二步，假設(shè)n=k猜想成立，然后證明n=k+1時猜想也成立．

解答：解：（1）由已知a1=

1

3

，

a1+a2+a3+…+an

n

=（2n-1）a_n，分別取n=2，3，4，5，
得a2=

1

5

a1=

1

3×5

=

1

15

，a3=

1

14

(a1+a2)=

1

5×7

=

1

35

，a4=

1

27

(a1+a2+a3)=

1

7×9

=

1

63

，a5=

1

44

(a1+a2+a3+a4)=

1

9×11

=

1

99

；
所以數(shù)列的前5項是：a1=

1

3

，a2=

1

15

，a3=

1

35

，a4=

1

63

，a5=

1

99

；  …（5分）
（2）由（1）中的分析可以猜想an=

1

(2n-1)(2n+1)

（n∈N^*）．          …（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當n=1時，猜想顯然成立．                           …（8分）
②假設(shè)當n=k（k≥1且k∈N^*）時猜想成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

． …（9分）
那么由已知，得

a1+a2+a3+…+ak+ak+1

k+1

=(2k+1)ak+1，
即a₁+a₂+a₃+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1．所以（2k²-k）a_k=（2k²+3k）a_k+1，
即（2k-1）a_k=（2k²+3）a_k+1，又由歸納假設(shè)，得(2k-1)

1

(2k-1)(2k+1)

=(2k+3)ak+1，
所以ak+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，即當n=k+1時，猜想也成立．        …（11分）
綜上①和②知，對一切n∈N*，都有an=

1

(2n-1)(2n+1)

成立．      …（12分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的項的求法，通項公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，注意證明中必須用上假設(shè)，考查計算能力，分析問題解決問題的能力．