Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，滿足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤

3

2

 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．
（1）求a，b，c的值；
（2）對一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-

3

2

都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x）可求b，由0≤f（x）≤

3

2

 的解集中包含2和-2，可得，f（2）≥0，
f（-2）=-f（2）≥0即得f（2）=0，可求c，由f（1）＜f（3），可得f（1）=-

3

a

，f（3）=-

5

3a

，即-

3

a

＜

5

3a

，從而可求a的范圍，利用函數(shù)單調性的定義證明在a＞0時，在（0，+∞）上f（x）=

x2-4

ax

是增函數(shù)．由f（4）=

3

2

=

42-4

4a

可求a
（2）由f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)可得f（x）=

x2+c

ax+b

在（-∞，0）上也是增函數(shù)，結合-3≤-2+sinθ≤-1，可得f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=

3

2

，從而可得m的取值范圍

解答：解：（1）∵f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)∴

(-x)2+c

a(-x)+b

=-

x2+c

ax+b

，解得b=0．…（2分）
∵式0≤f（x）≤

3

2

 的解集中包含2和-2，
∴

f(2)≥0 f(-2)=-f(2)≥0

即得f（2）=0=

22+c

2a

，所以c=-4 …（4分）
∵f（1）＜f（3），f（1）=-

3

a

，f（3）=-

5

3a

，
∴-

3

a

＜

5

3a

，所以a＞0…（5分）
下證：當a＞0時，在（0，+∞）上f（x）=

x2-4

ax

是增函數(shù)．
在（0，+∞）內任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么f（x₁）-f（x₂）=

x1

a

-

4

ax1

-

x2

a

+

4

ax2

=

1

a

（x₁-x₂）（1+

4

x1x2

）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴當a＞0時，在（0，+∞）上，f（x）=

x2-4

ax

是增函數(shù)．
所以，f（2）=0，f（4）=

3

2

=

42-4

4a

，解得a=2．
綜上所述：a=2，b=0，c=-4，f（x）=

x2-4

2x

…（7分）
（2）∵f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)∴f（x）=

x2+c

ax+b

在（-∞，0）上也是增函數(shù)．…（8分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，∴f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=

3

2

 …（10分）
而m-

3

2

≥

3

2

    …（12分）
所以，m≥3時，不等式f（-2+sinθ）≤m-

3

2

對一切θ∈R成立．…（13分）

點評：本題綜合考查了函數(shù)性質的應用：奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)對稱區(qū)間上的 單調性，利用定義證明函數(shù)的單調性，函數(shù)的恒成立與最值的相互轉化的思想的體現(xiàn)．