Question

在數(shù)列{a_n）中，已知a₁=，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及它的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）證明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n-=3（a_n-1-）+3ⁿ，
∴-==1
∴{}是等差數(shù)列，且公差為1；
（2）解：由（1）{}是等差數(shù)列，且公差為1，a₁=，
∴=+（n-1）×1=n，∴
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+
令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①則
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-
∴T_n=
∴S_n=+
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，結(jié)合-，即可證得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．