（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，平面，M，N分別為AB，SB的中點.

（1）求證：
（2）求二面角的余弦值.
（1）見解析；（2）余弦值為
本試題主要是考查了立體幾何中垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。
（1）（利用線面垂直的性質定理得到線線垂直，這是一般證明的方法和解題四輪。關鍵是證明平面，得到
（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量和法向量的夾角，從而得到二面角的余弦值的大小。
解：（1）取的中點O，連接
又平面平面，且平面平面
平面.     又………………………2分
如圖所示，建立空間直角坐標系,

則A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0,),M(1,,0),
N(0,,).……4分
，
則………………………6分
（2）由（1）得.設為平面的一個法向量，
則,取得.…………………………8分
.又為平面的一個法向量，
……………………………………………………12分
二面角的余弦值為
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分14分）已知正四棱錐的底面邊長為，為中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）若是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱中，平面，，, 點在線段上，且，．

（Ⅰ）求證：直線與平面不平行；
（Ⅱ）設平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設平面平面，求直線與所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，是直角三角形，，交于點，平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

,,是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是（　�。�
A．,
B．,
C．,,共面
D．,,共點,,共面

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐中，底面，,,,
,是的中點．
（1）  證明：；
（2）  證明：平面；
（3）  求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

線段AB，CD在兩條異面直線上，M,N分別是AB,CD的中點，則一定有（   ）
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下面四個命題，正確的是(      )
A．己知直線a,b平面α，直線c平面β，若c⊥a,c⊥b，則平面α⊥平面β
B．若直線a平行平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線a／／平面α；
C．若直線a垂直直線b在平面a內(nèi)的射影，則直線a⊥b
D．若直線a, b. c兩兩成異面直線，則一定存在直線與a,b,c都相交

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（   ）
A．若，，則；
B．若，，則；
C．若，，，則；
D．若，，，則.

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