Question

（2012•濟(jì)南三模）已知函數(shù)f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0），建立方程，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）先將函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）=sin（2x-

π

6

），由此可求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0）．
∴

3 × 3 2 a+b= 1 2 - 3 a 2 - 3 2 =0

------（3分）
∴a=1，b=-1------（6分）
（2）由（1）知：函數(shù)f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）=

3

sinx-cos（x-

π

3

）=sin（x-

π

6

）
∴函數(shù)f（x）的周期T=2π           （10分）
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即函數(shù)的增區(qū)間[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]k∈Z．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．