【題目】已知函數(shù) (
,
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當時,若直線
與曲線
沒有公共點,求
的最大值.
【答案】(1)見解析(2)的最大值為1.
【解析】試題分析:(1)先求導數(shù),再根據(jù)a的正負討論導函數(shù)符號變化規(guī)律,最后根據(jù)導函數(shù)符號確定極值,(2)先將無交點轉化為方程在
上沒有實數(shù)解,轉化為
在
上沒有實數(shù)解,再利用導數(shù)研究
取值范圍,即得
,即得
的取值范圍是
,從中確定
的最大值.
試題解析:(Ⅰ) ,
①當時,
,
為
上的增函數(shù),所以函數(shù)
無極值.
②當時,令
,得
,
.
,
;
,
.
所以在
上單調遞減,在
上單調遞增,
故在
處取得極小值,且極小值為
,無極大值.
綜上,當時,函數(shù)
無極小值;
當,
在
處取得極小值
,無極大值.
(Ⅱ)當時,
.
直線與曲線
沒有公共點,
等價于關于的方程
在
上沒有實數(shù)解,即關于
的方程:
在
上沒有實數(shù)解.
①當時,方程
可化為
,在
上沒有實數(shù)解.
②當時,方程
化為
.
令,則有
令,得
,
當變化時,
的變化情況如下表:
-1 | |||
- | 0 | + | |
↘ | ↗ |
當時,
,同時當
趨于
時,
趨于
,
從而的取值范圍為
.
所以當時,方程
無實數(shù)解,
解得的取值范圍是
.
綜上,得的最大值為1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)若直線不經過第四象限,求
的取值范圍;
(2)若直線交
軸負半軸于點
,交
軸正半軸于點
,
為坐標原點,設
的面積為
,求
的最小值及此時直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.
(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率;
(2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是 ,答對每道乙類題的概率都是
,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大�。�
(2)若a+c=1,求b的取值范圍.
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【題目】已知圓C1的方程為x2+(y+1)2=4,圓C2的圓心坐標為(2,1).
(1)若圓C1與圓C2相交于A,B兩點,且|AB|=,求點C1到直線AB的距離;
(2)若圓C1與圓C2相內切,求圓C2的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2015年推出一種新型家用轎車,購買時費用為16.9萬元,每年應交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共1.2萬元,汽車的維修費為:第一年無維修費用,第二年為0.2萬元,從第三年起,每年的維修費均比上一年增加0.2萬元.
(I)設該輛轎車使用n年的總費用(包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費)為f(n),求f(n)的表達式;
(II)這種汽車使用多少報廢最合算(即該車使用多少年,年平均費用最少)?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式的解集為
,求實數(shù)
的值;
(2)若不等式對一切實數(shù)
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
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