Question

如圖，O，A，B三點(diǎn)不共線，

OC

=2

OA

，

OD

=3

OB

，設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）試用

a

，

b

表示向量

OE

．
（2）設(shè)線段AB，OE，CD的中點(diǎn)分別為L，M，N，試證明L，M，N三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）由B，E，C三點(diǎn)共線，可得到一個向量等式，由A，E，D三點(diǎn)共線又可得到另一個等式，兩者結(jié)合即可解決（1）；
（2）欲證三點(diǎn)共線，可先證明兩向量共線得到．

解答：解：（1）∵B，E，C三點(diǎn)共線，
∴

OE

=x

OC

+（1-x）

OB

=2x

a

+（1-x）

b

，①
同理，∵A，E，D三點(diǎn)共線，可得

OE

=y

a

+3（1-y）

b

，②
比較①，②，得

2x=y 1-x=3(1-y)

解得x=

2

5

，y=

4

5

，
∴

OE

=

4

5

a

+

3

5

b

．
（2）∵

OL

=

a + b

2

，

OM

=

1

2

OE

=

4 a +3 b

10

，

ON

=

1

2

(

OC

+

OD

)=

2 a +3 b

2

，
∴

MN

=

ON

-

OM

=

6 a +12 b

10

，

ML

=

OL

-

OM

=

a +2 b

10

，
∴

MN

=6

ML

，∴L，M，N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：（1）由三點(diǎn)共線的條件設(shè)出參數(shù)，并利用待定系數(shù)法確定參數(shù)，利用算兩次的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)平面向量基本定理，使問題得以解決．（2）利用向量共線定理時容易證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行的問題，必須注意兩個有公共點(diǎn)的向量，其三點(diǎn)共線．