Question

已知集合A={x|log₂（x-1）＜1}，集合B={x|x²-ax+b＜0，a，b∈R}．
（1）若A=B，求a，b的值；
（2）若b=3，且A∪B=A，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由log₂（x-1）＜1得0＜x-1＜2，所以集合A={x|1＜x＜3}． （2'）
由A=B知，x²-ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜3}，所以方程x²-ax+b=0的兩根分別為1和3．
由韋達(dá)定理可知，，解得a=4，b=3，即為所求． （4'）
（2）由A∪B=A知，B⊆A． （5'）
①當(dāng)B=∅時(shí)，有△=a²-12≤0，解得； （7'）
②當(dāng)B≠∅時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+3，其圖象的對稱軸為x=，則
解得． （11'）
綜上①②可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，4]． （12'）
分析：（1）先化簡集合A，再利用A=B，從而將問題轉(zhuǎn)化為x²-ax+b=0的兩根分別為1和3，利用韋達(dá)定理可求；
（2）由A∪B=A知，B⊆A，再分B是空集與非空集合討論，進(jìn)而求并集即可．
點(diǎn)評：本題以集合為載體，考查集合之間的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．