Question

 設函數(shù)，其圖象對應的曲線設為G．

    （Ⅰ）設、、，為經過點（2，2）的曲線G的切線，求的方程；

    （Ⅱ）已知曲線G在點A、B處的切線的斜率分別為0、，求證：；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當時，恒成立，求常數(shù)的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）由題設，∴，

    由于點（2，2）不在曲線G上，

    可設切點為，所求切線方程為，

    由，消去得，        

    ∴，或，即對應的切點為（0，0），或，

    當時，，，所求的切線方程為，  …………2分

    當時，，，所求切線方程為；…4分

    （Ⅱ）由已知，依題意有

    ，，即，

    從而、、三數(shù)中至少有一個正數(shù)一個負數(shù)，∴總有，，

    若，由有，

    ∴，∴，       

    又，∴，

    故得，從而，矛盾，

    ∴必有，∴ ，∴可得；     …………8分

    （Ⅲ）即，

    整理即得，設，則

    設為的函數(shù)，由條件（Ⅱ），

    欲不等式恒成立，即在時恒成立，

    ∴，∴，

    解得，或，       

    依題意，

    ∴，即所求的的最小值為．      …………14分

    本題綜合考查曲線的概念、一次函數(shù)的性質、導數(shù)的幾何意義、不等式的解法與證明，屬難題．