Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax|x+a|，x∈[0，2]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的最大值為0時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²+x|x-1|，x∈[0，2]，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=x³-x²+x，f′（x）=3x²-2x+1=3＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x³+x²-x，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，由此能求出函數(shù)f（x）的最大值．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（0）=0，當(dāng)0＜x≤2時(shí)f（x）＞0，此時(shí)不符合題設(shè)；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=x³-ax²+a²x，f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），由0≤x≤2，知3x+a＞0．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²+x|x-1|，x∈[0，2]，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=x³-x²+x，
f′（x）=3x²-2x+1=3＞0，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x³+x²-x，
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，
又函數(shù)f（x）是連續(xù)函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，（4分）
∴函數(shù)f（x）的最大值f（x）_max=f（2）=10         （6分）
（2）1°當(dāng)a≤0時(shí)，f（0）=0，當(dāng)0＜x≤2時(shí)f（x）＞0，此時(shí)不符合題設(shè)，（8分）
2°當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=x³-ax²+a²x，
f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
∵0≤x≤2∴3x+a＞0
（i）當(dāng)a≥2時(shí)，f′（x）≤0，故f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
∴此時(shí)f（x）_max=f（0）=0，符合題設(shè)    （11分）
（ii）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＞0，得a＜x＜2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜a．
故 f（x）在[0，a]上是減函數(shù)，在在[a，2]上是增函數(shù)
∴此時(shí)f（x）_max=max{f（0），f（2）}=0，
又f（0）=0，
∴f（2）≤0，即8-2a|a+2|≤0，
a²+2a-4≥0，
解之得a≤-1-或a≥，
∴，
綜上所述：所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，考查去運(yùn)算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．