Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0當(dāng)x＞0，f（x）＞1且對(duì)于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）證明：f（0）=1．（2）證明：對(duì)于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根據(jù)f（0）≠0，可求出f（0）的值；
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

x

2

，可證得f（x）≥0，因?yàn)閒（0）≠0，從而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）因?yàn)閒（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式兩同時(shí)消去f（0），得：f（0）=1．
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

x

2

，于是f（x）=f（0.5x）f（0.5x）=（f（0.5x））²≥0．
因?yàn)閒（0）≠0，所以對(duì)于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了特殊值法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是如何取值，屬于中檔題．