已知正方形ABCD，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F．求證：DP⊥EF．

證明：以A為原點，AB、AD分別為x軸、y軸建立直角坐標系，
設(shè)正方形邊長為1，則=（1，0），=（0，1）．
由已知，可設(shè)=（a，a），并可得=（1-a，0），=（0，a），=（1-a，a），=-=（a，a-1），
∵•=（1-a，a）•（a，a-1）=（1-a）a+a（a-1）=0．
∴⊥，因此DP⊥EF．
分析：建立坐標系，用坐標表示向量，利用向量的數(shù)量積為0，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查利用空間向量證明平面幾何問題，解題的關(guān)鍵是建立坐標系，用坐標表示向量，證明向量的數(shù)量積為0．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為2，點P為對角線AC上一點，則（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD邊長為1，則|
AB
+
BC
+
AC
|=（　�。�
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線PA和EF的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）（理）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點，過點A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大小．

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