Question

在△ABC中，cosA=，tanB=．
（1）求角C的大��；
（2）若△ABC最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由cosA的值和角A的范圍，求出sinA的值，進(jìn)而求出tanA的值，再由tanB的值，利用C=π-（A+B），根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切函數(shù)公式化簡后，將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由角C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角C的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）求出的角C的度數(shù)為鈍角，由大邊對大角得到AB邊最大，然后根據(jù)tanA和tanB值的大小根據(jù)正切函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)判斷得到角A最小，進(jìn)而得到BC為最短邊，由sinA，AB及sinC的值，利用正弦定理即可求出BC的長．
解答：解：（1）∵cosA=，∴sinA=，
則tanA=，又tanB=，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-=-=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=；
（2）∵C=，∴AB邊最大，即AB=．又tanA＜tanB，且A，B∈（0，），
∴角A最小，BC邊為最小邊．
∵sinA=，AB=，sinC=sin=，
由=得：BC=AB•=，
所以最小邊BC=．
點評：此題綜合考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式及兩角和的正切函數(shù)公式，以及正弦定理．根據(jù)大角對大邊，小角對小邊判斷出AB邊最大，BC邊最小是解本題第二問的關(guān)鍵．