Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，正方體內(nèi)衣球O₁與面ABCD，BCC₁B₁，ABB₁A₁均相切，正方體內(nèi)另一球O₂與面ADD₁A₁，A₁B₁C₁D₁，CDD₁C₁均相切，且兩球外切，那么兩球表面積之和的最小值是________．

Answer 1

（）π
分析：設(shè)球O₁、O₂的半徑分別為r₁、r₂，可得BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=（1+）（r₁+r₂）=，從而得到r₁+r₂=．再根據(jù)基本不等式，得r₁²+r₂²≥（r₁+r₂）²=，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂=時(shí)等號(hào)成立，由此結(jié)合球的表面積公式，即可得到兩球表面積之和的最小值．
解答：解：根據(jù)題意，得
BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=AA₁=，
設(shè)球O₁、O₂的半徑分別為r₁、r₂，根據(jù)正方體的性質(zhì)和球與平面、球與球相切的性質(zhì)，得BO₁=r₁，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D₁=r₂，
∴（+1）（r₁+r₂）=，得r₁+r₂==
由基本不等式，得2（r₁²+r₂²）≥（r₁+r₂）²=3-，
∴r₁²+r₂²≥，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂=時(shí)等號(hào)成立
因此，兩球表面積之和S₁+S₂=4π（r₁²+r₂²）≥（）π
故答案為：（）π
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體內(nèi)兩個(gè)相切的球分別與正方體的三個(gè)面相切，求兩個(gè)球的表面積之和的最小值，著重考查了正方體的性質(zhì)和球與平面、球與球相切的性質(zhì)，基本不等式及球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．