已知拋物線C:y2=8x,直線l與C交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,則點O到直線l的最大距離為( 。
分析:對直線OA的斜率分類討論:①設(shè)直線OA的方程為y=kx(k>0,k≠1),利用
OA
OB
=0
,可得直線OB的方程為y=-
1
k
x
.聯(lián)立
y=kx
y2=8x
,解得點A的坐標(biāo).同理可得B點的坐標(biāo).可得直線AB即l的方程,利用點到直線的距離公式可得點O到直線l的距離d,再利用基本不等式可得.
②當(dāng)直線OA的斜率為1時,方程為y=x,由于
OA
OB
=0
,可得直線OB的方程為y=-x.聯(lián)立
y=x
y2=8x
,解得A,同理可得B.由于此時直線l⊥x軸,即可得到點O到直線l的距離d.比較①②即可得出.
解答:解:①設(shè)直線OA的方程為y=kx(k>0,k≠1),∵
OA
OB
=0
,∴直線OB的方程為y=-
1
k
x

聯(lián)立
y=kx
y2=8x
,解得
x=0
y=0
,或
x=
8
k2
y=
8
k
,∴A(
8
k2
,
8
k
)

同理可得:B(8k2,-8k).
∴kAB=
8
k
+8k
8
k2
-8k2
=
k
1-k2

∴直線AB即l的方程為y+8k=
k
1-k2
(x-8k2)
,化為kx+(k2-1)y-8k=0.
∴點O到直線l的距離d=
8k
k2+(k2-1)2
=
8
k2+
1
k2
-1
8
2-1
=8.
②當(dāng)直線OA的斜率為1時,方程為y=x,∵
OA
OB
=0
,∴直線OB的方程為y=-x.
聯(lián)立
y=x
y2=8x
,解得
x=0
y=0
,或
x=8
y=8
,∴A(8,8).
同理可得B(8,-8).
此時直線l⊥x軸,∴點O到直線l的距離d=8.
綜上①②可知:點O到直線l的最大距離為8.
故選C.
點評:本題考查了直線與拋物線相交問題、直線相互垂直的斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點. A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M(O為坐標(biāo)原點).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標(biāo);
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(2)設(shè)點M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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(II)問是否存在定點M,不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點,且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若
MA
MB
=0,則k=(  )

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