Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點(diǎn)，AB=BC=kPA．
（I）當(dāng)k=1時(shí)，求證PA⊥B₁C；
（II）當(dāng)k為何值時(shí)，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為，并求此時(shí)二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB=2，欲證PA⊥B₁C，只需它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，計(jì)算它們的數(shù)量積，使數(shù)量積為零即可；
（II）先求出平面B₁C的一個(gè)法向量，先求直線PA與法向量的夾角的余弦值然后得到直線與平面所成角的正弦值，可求出k的值，最后求出平面BPC的一個(gè)法向量，根據(jù)兩法向量的夾角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值．
解答：解：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
（I）設(shè)AB=2，則AB=BC=PA=2
根據(jù)題意得：
所以．
∵，∴PA⊥B₁C．
（II）設(shè)AB=2，則，
根據(jù)題意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125458763122787/SYS201310251254587631227018_DA/4.png">，
所以，
∴，
∴，
∵AB⊥平面B₁C，
所以由題意得，
即，即，
∵k＞0，解得k=．
即時(shí)，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為．（8分）
∵B₁P⊥面APC，∴平面APC的法向量．
設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為，
∵
由，得，
∴
所以此時(shí)二面角A-PC-B的余弦值是．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及利用向量法度量二面角的大小，屬于基礎(chǔ)題．