Question

在圓x²+y²=r²（r＞0）中，AB為直徑，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則有k_AC•k_BC=-1．你能用類比的方法得出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中有什么樣的結(jié)論？并加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，由圓的性質(zhì)類比猜想橢圓的類似性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)到點(diǎn)，線到線，直徑到直徑等類比后的結(jié)論應(yīng)該為關(guān)于橢圓的一個(gè)類似結(jié)論．

解答：解：類比得到的結(jié)論是：在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，A，B分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，C（x，y）點(diǎn)是橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，由kAC•kBC=-

b2

a2

證明：設(shè)A（x₀，y₀）為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-x₀，-y₀），點(diǎn)P（x，y）為橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則kAP•kBP=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

．
由于A，B，P三點(diǎn)在橢圓上，∴

x2 a2 + y2 b2 =1 x 2 0 a2 + y 2 0 b2 =1.

兩式相減，有

x2- x 2 0

a2

+

y2- y 2 0

b2

=0，
∴

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

，即kAP•kBP=-

b2

a2

．
故橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中過中心的一條弦的兩個(gè)端點(diǎn)A，B，P為異于A，B的橢圓上的任意一點(diǎn)，則有kAP•kBP=-

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．