Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2。
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，（x-k） f ′（x）+x+1＞0，求k的最大值。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax-2的定義域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a≥0，
所以函數(shù)f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）=e^x-a＜0；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）=e^x-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增。
（2）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1
故當(dāng)x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價于k＜（x＞0）①
令g（x）=，則g′（x）=
由（1）知，函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零點，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，
設(shè)此零點為α，則有α∈（1，2）當(dāng)x∈（0，α）時，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）
又由g′（α）=0，可得e^α=α+2
所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等價于k＜g（α），
故整數(shù)k的最大值為2。