Question

14．已知雙曲線Γ過點$（{2，\sqrt{3}}）$，且與雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$有相同的漸近線，則雙曲線Γ的標準方程為$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)與雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$有相同漸近線方程的雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，將點$（{2，\sqrt{3}}）$的坐標代入，求得λ即可．

解答 解：依題意，設(shè)所求的雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，將點$（{2，\sqrt{3}}）$的坐標代入，
得：1-3=λ，
∴λ=-2，
∴所求的雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-2，即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．
故答案為：$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{8}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題．