Question

（2006•西城區(qū)一模）下列關于函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x的判斷正確的是（　�。�
（1）f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}．
（2）f(-

2

)是極小值，f(

2

)是極大值．
（3）f（x）沒有最小值，也沒有最大值．
（4）f（x）有最大值，沒有最小值．

A．（1）（3）

B．（1）（2）（3）

C．（2）（4）

D．（1）（2）（4）

Answer 1

分析：令f（x）＞0可解x的范圍確定①正確；
對函數(shù)f（x）進行求導，然后令f′（x）=0求出x，在根據(jù)f′（x）的正負判斷原函數(shù)的單調性進而可確定②正確．
根據(jù)函數(shù)的單調性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值，無最小值，③不正確．從而得到答案．

解答：解：由f（x）＞0⇒（2x-x²）e^x＞0⇒2x-x²＞0⇒0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，
由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．單調增區(qū)間為（-

2

，

2

）．
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故②正確．
∵x＜-

2

時，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）無最小值，但有最大值f（

2

）
∴③不正確，④正確．
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值與其導函數(shù)關系，即函數(shù)取到極值時導函數(shù)一定等于0，但導函數(shù)等于0時還要判斷原函數(shù)的單調性才能確定原函數(shù)的極值點．