Question

（2013•營(yíng)口二模）已知橢圓

y2

25

+

x2

9

=1的上、下焦點(diǎn)分別為F₂和F₁，點(diǎn)A（1，-3），
（1）在橢圓上有一點(diǎn)M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）當(dāng)|F₂M|+|MA|取最小值時(shí)，求直線MF₁被橢圓截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程求出上下兩個(gè)焦點(diǎn)，利用三角形中兩邊之差小于第三邊把|F₂M|+|MA|的值縮小，得到當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上并在線段F₁A的延長(zhǎng)線上時(shí)|F₂M|+|MA|取得最小值；
（2）由（1）知，當(dāng)|F₂M|+|MA|取最小值時(shí)，點(diǎn)M在直線AF₁上，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后直接利用弦長(zhǎng)公式求直線MF₁被橢圓截得的弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）由橢圓方程

y2

25

+

x2

9

=1得，a=5，b=3，
∴c=

a2-b2

=

25-9

=4，則橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-4），F(xiàn)₂（0，4），
又A（1，-3），
|F₂M|+|MA|≥|F₂M|+|MF₁|-|AF₁|=2a-|AF₁|=10-|AF₁|．
當(dāng)

MF1

與

AF1

同向共線時(shí)取等號(hào)，即取最小值．
而|AF1|=

(1-0)2+(-3+4)2

=

2

．
∴當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上并在線段F₁A的延長(zhǎng)線上時(shí)取得最小值，
|F₂M|+|MA|的值最小為10-

2

；
（2）當(dāng)|F₂M|+|MA|取得最小值時(shí)，點(diǎn)M在直線AF₁上，可求得
直線AF₁的方程為：y=x-4．
直線AF₁與橢圓相交于兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y2 25 + x2 9 =1 y=x-4

，得34x²-72x-81=0．
則x1+x2=

72

34

=

36

17

，x1x2=-

81

34

．
∴弦長(zhǎng)|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 36 17 )2-4(- 81 34 )

=

2

17

362+162×17

=

2×4050

17

=

90

17

．
∴直線MF₁被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

90

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及圓錐曲線中的最值問(wèn)題，往往要借助于圓錐曲線的定義解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，弦長(zhǎng)公式實(shí)際上是兩點(diǎn)間距離公式的簡(jiǎn)化形式，此題是中檔題．