Question

已知圓C：x²+y²=4，點(diǎn)A（a，0）（a＞0）
（1）若a=4，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線方程；
（2）過點(diǎn)A作直線交圓C于不同兩點(diǎn)M、N，求MN中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,軌跡方程

專題：計(jì)算題,作圖題,直線與圓

分析：（1）若a=4，設(shè)切線傾斜角a，則sina=

2

4

=

1

2

；從而求斜率k=±

3

3

；從而求切線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則OP⊥AP；從而得

y-0

x-a

•

y

x

=-1；從而求軌跡方程．

解答： 解：（1）若a=4，設(shè)切線傾斜角a，則sina=

2

4

=

1

2

；
故切線的斜率為k=±

3

3

；
故切線方程為y=±

3

3

（x-4）；
故切線方程為x±

3

y-4=0；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則OP⊥AP；
故

y-0

x-a

•

y

x

=-1；
化簡(jiǎn)得，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
當(dāng)a＞2時(shí)，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

（0≤x≤

1

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用及軌跡方程的求法，屬于中檔題．