設(shè)函數(shù)在x=1時(shí)取得極大值5

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)對(duì)于任意的x∈[0,3],都有成立,求m的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年南通市教研室高三數(shù)學(xué)考前預(yù)測(cè)題 題型:044

設(shè)三次函數(shù)在x=1處取得極值,其圖象在x=m處的切線的斜率為-3a.

(1)求證:

(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[s,t]上單調(diào)遞增,求的取值范圍;

(3)問是否存在實(shí)數(shù)k(k是與a,b,c,d無關(guān)的常數(shù)),當(dāng)x≥k時(shí),恒有恒成立?若存在,試求出k的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:貴州省遵義四中2010屆高三畢業(yè)班第四次月考、文科數(shù)學(xué)試卷 題型:044

設(shè)f(x)=ax3(a+2)x2+6x-3,x∈R,a是常數(shù),且a>0

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)若f(x)在x=1時(shí)取得極大值,且直線y=-1與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在x=1處取得極小值,其圖象過點(diǎn)A(0,1),且在點(diǎn)A處切線的斜率為-1.

(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)的定義域D,若存在區(qū)間[m,n]D,使得g(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],則稱區(qū)間[m,n]為函數(shù)g(x)的“保值區(qū)間”.證明:當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)不存在“保值區(qū)間”;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過點(diǎn)A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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