Question

已知二次函數(shù)f(x)＝3x²－3x，直線l₁：x＝2和l₂：y＝3tx(其中t為常數(shù)，且0<t<1)，直線l₂與函數(shù)f(x)的圖象以及直線l₁、l₂與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖K15－3，設(shè)這兩個陰影區(qū)域的面積之和為S(t)．

(1)求函數(shù)S(t)的解析式；

(2)定義函數(shù)h(x)＝S(x)，x∈R.若過點A(1，m)(m≠4)可作曲線y＝h(x)(x∈R)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解析  (1)由得x²－(t＋1)x＝0，

所以x₁＝0，x₂＝t＋1.

所以直線l₂與f(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)分別為0，t＋1.

因為0<t<1，所以1<t＋1<2.

 

(2)依據(jù)定義，h(x)＝(x＋1)³－6x＋2，x∈R，

則h′(x)＝3(x＋1)²－6.

因為m≠4，則點A(1，m)不在曲線y＝h(x)上．

過點A作曲線y＝h(x)的切線，設(shè)切點為M(x₀，y₀)，

則3(x₀＋1)²－6＝，

化簡整理得2x－6x₀＋m＝0，其有三個不等實根．

設(shè)g(x₀)＝2x－6x₀＋m，則g′(x₀)＝6x－6.

由g′(x₀)>0，得x₀>1或x₀<－1；

由g′(x₀)<0，得－1<x₀<1，

所以g(x₀)在區(qū)間(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x₀＝－1時，函數(shù)g(x₀)取極大值；

當(dāng)x₀＝1時，函數(shù)g(x₀)取極小值．

因此，關(guān)于x₀的方程2x－6x₀＋m＝0有三個不等實根的充要條件是

即即－4<m<4.

故實數(shù)m的取值范圍是(－4,4)．