Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-3（1-a）x²+（a²+8a-9）x，x∈R．
（1）當a=0時，求f（x）的極大值、極小值；
（2）若x＞0時，f（x）≥0，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的極大值、極小值；
（2）令g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9，則問題等價于當x＞0時，g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9≥0，求a的取值范圍．利用函數(shù)的對稱軸，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）要使函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，只需f′（x）在（0，1）上恒小于0，因為 f'（x）=3x²-6（1-a）x+a²+8a-9，其二次項系數(shù)為3，從而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），列表如下：

x	…	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）	…
f'（x）	…	+	0	-	0	+	…
f （x）	…	↗	極大值	↘	極小值	↗	…

所以f（x）的極大值為f（-1）=5，極小值為f（3）=-27．  …（4分）
（2）令 g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9，則問題等價于當x＞0時，g（x）=x²-3（1-a）x+a²+8a-9≥0，求a的取值范圍．
�。┤舳�次函數(shù)g（x）的對稱軸x=

3(1-a)

2

＜0，即a＞1時，根據(jù)圖象，只需g（0）≥0，即a²+8a-9≥0，解得a≤-9或a≥1，結(jié)合a＞1，得a＞1．
ⅱ）若二次函數(shù)g（x）的對稱軸x=

3(1-a)

2

≥0，即a≤1時，根據(jù)圖象，只需△=9（1-a）2-4（a2+8a-9）≤0，解得1≤a≤9．結(jié)合a≤1，得a=1．
故當x＞0時，f（x）≥0，實數(shù)a的取值范圍是a≥1．       …（9分）
（3）要使函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，只需f′（x）在（0，1）上恒小于0，因為 f'（x）=3x²-6（1-a）x+a²+8a-9，其二次項系數(shù)為3，從而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，
即

f(0)=a2+8a-9≤0 f(1)=3-6(1-a)+a2+8a-9≤0

，解得

-9≤a≤1 -7- 61 ≤a≤ 61 -7

 
∵

61

-7＜1，所以-9≤a≤

61

-7．
綜上所述，若函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是-9≤a≤

61

-7．…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，正確求導是關(guān)鍵．