Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，其中a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（只需寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=2時(shí)的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的定義域，討論①當(dāng)a＞0時(shí)，②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)及④當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，通過(guò)解方程求出兩根，討論導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）求得單調(diào)性即可判斷f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+2x²-5x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x²-5，
則：f（1）=-3，f′（1）=0，$\frac{1}{x}$
∴切線方程為：y+3=0，
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋簕x丨x＞0}，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{2a{x}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$，
令f′（x）=0，x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a}$，
①當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），f（x）的減區(qū)間為（1，+∞）；
②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；f′（x）＜0，得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞），f（x）減區(qū)間為（1，$\frac{1}{2a}$）；
④當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$，f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞），f（x）減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，1）；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）零點(diǎn)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．