Question

對于四面體ABCD，給出下列四個命題：

①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD．

其中真命題的序號是_____(寫出所有命題的序號)．

Answer 1

答案：略
解析：

解：對于命題①，取BC的中點(diǎn)E．如圖(1)． 連結(jié)AE、DE，則BC⊥AE，BC⊥DE，∴面AED．∴BC⊥AD．∴①正確． 對于命題④，過A向平面BCD做垂線AO，如圖(2)． 連結(jié)BO，延長后與CD交于點(diǎn)E，連結(jié)AE， ∵AO⊥平面BCD，CD平面BCD， ∴AO⊥CD．又∵AB⊥CD， 且AB∩AO=A，∴CD⊥平面AOE． ∵BE平面ABE，∴CD⊥BE． 同理，連結(jié)CO，延長后與BD交于點(diǎn)F，易證CF⊥BD． ∴O為△BCD的垂心．∴連結(jié)DO，必有DO⊥BC． 又AO⊥BC，且AO∩DO=O， ∴BC⊥平面ADO．又AD平面ADO， ∴BC⊥AD．∴命題④正確． 綜上可知，應(yīng)填①④．