Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：
①對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）；
②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=y=0，可求出f（0）的值；
（2）欲說(shuō)明f（x）在（-1，1）上是奇偶性，只需說(shuō)明f（-x）與f（x）的關(guān)系，令y=-x，將f（0）的值代入即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）先設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根據(jù)題目條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形判定其符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定．

解答：解：（1）令x=y=0⇒f（0）=0，
（2）f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
∵對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
∴令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（3）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0
即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)奇偶性的判定，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，屬于中檔題．