已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）已知函數(shù)的零點至少有一個在原點右側(cè)，求實數(shù)的范圍.

（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點,是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.

試問：函數(shù)（且）是否存在“中值相依切線”，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)不存在“中值相依切線”，理由見解析。

【解析】解：(Ⅰ)(1)當時，，直線與軸的交點為，即函數(shù)的零點為0，不在原點右側(cè)，不滿足條件.      (1分)

(2)當時，，拋物線的頂點為，即函數(shù)的零點為0，不在原點右側(cè)，不滿足條件.            (2分)

（3）當時，，拋物線開口向上且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的左側(cè)，故函數(shù)的零點不在原點右側(cè)，不滿足條件.        (3分)

（4）當時，，拋物線開口向上且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的右側(cè)，故函數(shù)有一個零點在原點右側(cè)，滿足條件.           (4分)

（5）當時，，拋物線開口向下且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的右側(cè)，故函數(shù)有一個零點在原點右側(cè)，滿足條件.                         (5分)

綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.           (6分)

 (Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.

設(shè),是曲線上的不同兩點，且，

則，.

 

           （8分）

曲線在點處的切線斜率

，        （9分）

依題意得：.

化簡可得： ，  即=.     （11分）

設(shè) ()，上式化為：, 即.    （12分）

令,.

因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.

所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”.             （14分）

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

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已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．

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已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0時，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果將圖象上每個點的縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的
3
π
，然后將所得圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數(shù)列，求y=f（x）的解析式．

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已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實數(shù)．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，證明Tn＜3．

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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