Question

為調查某市學生百米運動成績，從該市學生中按照男女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）…第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據(jù)有關規(guī)定，成績小于16秒為達標．
（Ⅰ）用樣本估計總體，某班有學生45人，設ξ為達標人數(shù)，求ξ的數(shù)學期望與方差；
（Ⅱ）如果男女生使用相同的達標標準，則男女生達標情況如表：

性別 是否達標	男	女	合計
達標	a=24	b= 6	30
不達標	c= 8	d=12	20
合計	32	18

根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？
附：

P（K2≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.625	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）ξ～B（45，0.6），利用公式Eξ=np，Dξ=np（1-p）…（6分）
（Ⅱ）列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，即可求出結果．

解答：解：（Ⅰ）由圖，成績在[13，16）的頻率：0.04+0.18+0.38=0.6…（3分）
若用樣本估計總體，則總體達標的概率為0.6   
從而ξ～B（45，0.6）
∴Eξ=45×0.6=27（人），Dξ=45×0.6×（1-0.6）=10.8…（6分）
（Ⅱ）依據(jù)題意得相關的2×2列聯(lián)表如下：

性別 是否達標	男	女	合計
達標	a=24	b=6	30
不達標	c=8	d=12	20
合計	32	18	n=50

K²=

50×(24×12-6×8)2

32×18×30×20

≈8.33＞6.625，故有99%的把握認為“體育達標與性別有關”．
解決辦法：可以根據(jù)男女生性別劃分達標的標準…（12分）

點評：本題重點考查二項分布模型，考查獨立性檢驗，利用公式，正確計算是關鍵．