Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若對?x∈[

π

4

，

π

2

]，不等式f（x）＞m-3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(3x-

π

3

)，由此求出它的周期．
（2）根據(jù)x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，從而求得函數(shù)f（x）的最小等于1，要使不等式f（x）＞m-3恒成立，故只需
1＞m-3，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x-1
=sin2x-

3

cos2x=2sin(3x-

π

3

)，…（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（5分）
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴f（x）_min=1．…（7分）
要使不等式f（x）＞m-3恒成立，故只需 1＞m-3，
解得m＜4，…（9分） 
即m的取值范圍為（-∞，4）．…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，周期性與求法，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．