Question

在學習二項式定理時，我們知道楊輝三角中的數(shù)具有兩個性質(zhì)：①每一行中的二項式系數(shù)是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第2項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)相等，…；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和．我們也知道，性質(zhì)①對應于組合數(shù)的一個性質(zhì)：c_n^m=C_n^n-m．
（1）試寫出性質(zhì)②所對應的組合數(shù)的另一個性質(zhì)；
（2）請利用組合數(shù)的計算公式對（1）中組合數(shù)的另一個性質(zhì)作出證明．

Answer 1

（1）性質(zhì)②所對應的組合數(shù)的另一個性質(zhì)是
      

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n

   
（2）因為

C

mn+1

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

     

C

mn

+

C

m-1n

=

n!

m!(n-m)!

+

n!

(m-1)!(n+1-m)!

                 
=

n![(n+1-m)+m]

m!(n+1-m)!

=

n!(n+1)

m!(n+1-m)!

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

所以

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n