Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-5x-6和函數(shù)g(x)=

k-2

x

(k≠2)．
（Ⅰ） 求過點（-1，2）且與曲線f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)h(x)=f(x)+

1

2

x+12的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且只有一個公共點，求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)t=

1

|g(x-1)|

+

1

|g(x-2)|

+…+

1

|g(x-(2k+1))|

(k∈N*，k＞2)，比較

t2-k2

t2+k2

與

t-k

t+k

的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解該曲線過點（-1，2）的切線方程，注意點（-1，2）不一定是切點，設(shè)出切點利用待定系數(shù)法求解出所求的切線方程；
（Ⅱ）將圖象交點問題進行轉(zhuǎn)化與化歸是解決本題的關(guān)鍵，注意求圖象的交點就是求使得兩函數(shù)值相等時對應(yīng)方程的根的問題，通過研究相應(yīng)方程對應(yīng)的函數(shù)的極值求得k的取值范圍；
（Ⅲ）將t進行變形與放縮是解決本題的關(guān)鍵，注意絕對值三角不等式的運用和作差法比較大小的思想．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-5x-6，
∴f'（x）=2x-5，
設(shè)點（m，f（m））在曲線f（x）上，
∴點（m，f（m））處的切線方程為點y-（m²-5m-6）=（2m-5）（x-m），
∵切線過點（-1，2），
∴2-（m²-5m-6）=（2m-5）（-1-m），即m²+2m+3=0，
∴m₁=-1，或m₂=-3
∴切線方程為7x+y+7=0，或11x+y+15=0；
（Ⅱ）∵h(x)=f(x)+

1

2

x+12=x2-5x-6+

1

2

x+12=x2-

9

2

x+6，
∴方程x2-

9

2

x+6=

k-2

x

只有一個解，
即方程k=x3-

9

2

x2+6x+2只有一個解，
設(shè)u(x)=x3-

9

2

x2+6x+2，∴u'（x）=3x²-9x²+6，
當x＜1或x＞2時，u'（x）＞0，當1＜x＜2時，u'（x）＜0，
∴x=1時，u（x）有極大值

9

2

，x=2時，u（x）有極小值4，
∴k＞

9

2

或k＜4且k≠2；
（Ⅲ）∵t=

1

k-2

(|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-(2k+1)|
又∵t=

1

k-2

(|x-(2k+1)|+|x-2k|+…+|x-1|)，
∴2t=

1

k-2

[(|x-1|+|x-(2k+1)|)+(|x-2|+|x-2k|)+…+(|x-(2k+1)|+|x-1|)≥

1

k-2

[(|x-1-x+2k+1|)+(|x-2-x+2k|)+…+(|x-2k-1-x+1|)
=

1

k-2

(2k+2(k-1)+…+2)×2
=

2

k-2

k(k+1)，
≥

2

k-2

k(k-2)=2k，
∴t＞k＞0，
∵

t2-k2

t2+k2

-

t-k

t+k

=

(t2-k2)(t+k)-(t-k)(t2+k2)

(t2+k2)(t+k)

=

2tk(t-k)

(t2+k2)(t+k)

，
∵t＞k＞0，
∴

t2-k2

t2+k2

＞

t-k

t+k

．

點評：本題是函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查函數(shù)圖象過某點處的切線方程的求解，注意點斜式方程和待定系數(shù)法的靈活運用；考查函數(shù)圖象交點問題的等價轉(zhuǎn)化思想，要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值．進而解決一些綜合問題；考查學(xué)生運用作差法比較大小的方法，注意放縮法的運用，要求學(xué)生具有很強的轉(zhuǎn)化與化歸能力．