Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=4，∠ACB=90°，AB=AA₁，點D是AB的中點，點E是BB₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥平面CDE；
（2）求二面角D-CE-A₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）要證A₁B⊥平面CDE，只需證明A₁B⊥平面CDE中的兩條相交直線，易證A₁B⊥AB₁，A₁B⊥DE，從而問題得證；
（2）先確定二面角D-CE-A₁的平面角．根據(jù)A₁B⊥平面CDE，設(shè)A₁B與DE交于點M，過M作MN⊥CE，垂足為N，連接A₁N，則A₁N⊥CE，則可知∠A₁NM即為二面角D-CE-A₁的平面角．從而可求

解答：解：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
面A₁B⊥面ABC，又D為AB中點，∴CD⊥面A₁B，
∴CD⊥A₁B，∵AB=AA₁，∴A₁B⊥AB₁，
又DE∥AB₁∴A₁B⊥DE，又DE∩CD=D
∴A₁B⊥平面CDE
（2）由（Ⅰ）知A₁B⊥平面CDE，設(shè)A₁B與DE交于點M，過M作MN⊥CE，垂足為N，連接A₁N，則A₁N⊥CE，
故∠A₁NM即為二面角D-CE-A₁的平面角．
∵CE=

BC2+BE2

=

6

，EM=

1

4

AB1=1，
又由△ENM△EDC得MN=

CD•ME

CE

=

3

3

．  
又∵A1M=

3

4

A1B=3，∴BN=

BC•BE

CE

=

2 3

3

，BM=

1

4

A1B=

1

4

A A 2 1 +AB2

=

1

4

(2 2 )2+(2 2 )2

=1，
在Rt△A₁MN中，tan∠A₁NM=

A1M

MN

=3

3

，
故二面角D-CE-A₁的大小為arctan3

3

．

點評：本題以直三棱柱為載體，考查線面垂直，考查面面角，關(guān)鍵是正確利用線面垂直的判定定理．