Question

選做題（考生只能從A，B，C中選做一題，多做以所做第一題記分）
A．（不等式選做題）
已知a∈R，若關(guān)于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0無(wú)實(shí)根，則a的取值范圍是

（-∞，-2）∪（2，+∞）

．
B．（幾何證明選做題）
如圖，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A、B在圓O上，BC=1，∠BCD=30°，則圓O的面積為

π

．
C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=

2

3

．

Answer 1

分析：A．一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的充要條件是△＜0，轉(zhuǎn)化為|a-1|+|a+1|＞4，對(duì)a分a＞1、-1≤a≤1、a＜-1三種情況討論即可；
B．利用弦切角定理和正弦定理即可得出；
C．先把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再與直線的方程聯(lián)立解出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出．

解答：解：A．∵關(guān)于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0無(wú)實(shí)根，∴△=4²-4（|a-1|+|a+1|）＜0，解得|a-1|+|a+1|＞4，
①當(dāng)a＞1時(shí)，上述不等式可化為2a＞4，解得a＞2＞1，滿足條件；
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，上述不等式可化為2＞4，此時(shí)不符合條件，應(yīng)舍去；
③當(dāng)a＜-1時(shí)，上述不等式可化為-2a＞4，解得a＜-2，滿足條件．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
B．由弦切角定理可得：∠CAB=∠DCB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sin30°

=2r，r為△ABC的外接圓的半徑．
∴2r=

1

sin30°

=2，解得r=1，
∴圓O的面積=π×1²=π．
故答案為π．
C．∵曲線ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，化為普通方程：x²+y²=4x，與直線x=1聯(lián)立得

x2+y2=4x x=1

，解得

x=1 y=± 3

．
∴A(1，

3

)，B(1，-

3

)．
∴|AB|=2

3

．
故答案為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：正確理解一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的條件、利用分類(lèi)討論方法解含絕對(duì)值不等式、弦切角定理和正弦定理、聯(lián)立方程組的解與曲線與直線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．