如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,cosA=,cosC=
(1)求索道AB的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

【答案】分析:(1)作出相應(yīng)的圖形,根據(jù)cosC的值,求出tanC的值,設(shè)出BD表示出DC,由cosA的值,求出tanA的值,由BD表示出AD,進(jìn)而表示出AB,由CD+AD=AC,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可確定出AB的長;
(2)設(shè)乙出發(fā)xmin后到達(dá)點(diǎn)M,此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn),如圖所示,表示出AM與AN,在三角形AMN中,由余弦定理列出關(guān)系式,將表示出的AM,AN及cosA的值代入表示出MN2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN取最小值時(shí)x的值;
(3)由(1)得到BC的長,由AC的長及甲的速度求出甲到達(dá)C的時(shí)間,分兩種情況考慮:若甲等乙3分鐘,此時(shí)乙速度最小,求出此時(shí)的速度;若乙等甲3分鐘,此時(shí)乙速度最大,求出此時(shí)的速度,即可確定出乙步行速度的范圍.
解答:解:(1)∵cosA=,cosC=,
∴tanA=,tanC=,
如圖作BD⊥CA于點(diǎn)D,
設(shè)BD=20k,則DC=15k,AD=48k,AB=52k,
由AC=63k=1260m,解得:k=20,
則AB=52k=1040m;
(2)設(shè)乙出發(fā)xmin后到達(dá)點(diǎn)M,此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn),如圖所示,
則AM=130xm,AN=50(x+2)m,
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AM•ANcosA=7400x2-14000x+10000,
其中0≤x≤10,當(dāng)x=min時(shí),MN最小,此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短;
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用時(shí)為1260÷50=(min),
若甲等乙3分鐘,則乙到C用時(shí)為+3=(min),在BC上同時(shí)為(min),
此時(shí)乙的速度最小,且為500÷=≈29.07(m/min);
若乙等甲3分鐘,則乙到C用時(shí)為-3=(min),在BC上用時(shí)為(min),
此時(shí)乙的速度最大,且為500÷=≈35.21(m/min),
則乙步行的速度控制在[29.07,35.21]范圍內(nèi).
點(diǎn)評:此題考查了余弦定理,銳角三角函數(shù)定義,以及勾股定理,利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于解直角三角形題型.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•江蘇)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,cosA=
12
13
,cosC=
3
5

(1)求索道AB的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客同時(shí)從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,cosA=
12
13
,cosC=
3
5

(1)求索道AB的長;
(2)為使乙游客在C處趕在甲游客前面先到達(dá),乙步行的速度至少應(yīng)為多少?(結(jié)果保留到個(gè)位)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學(xué) 題型:044

如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至C處有兩種路徑.一種是從沿A直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.

現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min,山路AC長為1260 m,經(jīng)測量,

(1)求索道AB的長;

(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?

(3)為使兩位游客在C處相互等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑. 一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.

現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為50m/min. 在甲出發(fā)2min后,乙從乘纜車到,在處停留1min后,再從勻速步行到. 假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路長為1260m,經(jīng)測量,,.

(1) 求索道的長;

(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?

(3) 為使兩位游客在處相互等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案