Question

已知實數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）要使f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a＞0時，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，得函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上是增函數(shù)；
若x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，得函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上是減函數(shù)．
則當(dāng)a＞0時，函數(shù)f （x） 的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）． 
即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，
最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，
等價為f（x）_min≥0，
由（Ⅰ）知，f（x）_min=a-alna-1，
設(shè)g（a）=a-alna-1，
則g′（a）=1-lna-1=-lna，
由g′（a）=0得a=1，
由g′（x）＞0得，0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0得，x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的之間關(guān)系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．