Question

過(guò)拋物線(xiàn)x²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）證明：△ABO是鈍角三角形；
（II）求△ABO面積的最小值；
（III）過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C，求線(xiàn)段AC中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證△ABO是鈍角三角形，只需證明∠AOB的余弦值小于0即可．設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，以及直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，求x₁x₂，y₁y₂的，用向量的坐標(biāo)公式求，再代入向量的夾角公式，求出∠AOB的余弦值，再判斷正負(fù)即可．
（II）y軸把△ABO分成了兩個(gè)三角形，分別是△AFO和△BFO，所以S_△ABO=s_△AFO+S_△BFO=，再把（I）中求出的x₁x₂，x₁+x₂的值代入，就可用含k的式子表示S_△ABO，再求最值即可．
（III）先設(shè)出過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用△=0，求出k，再帶回切線(xiàn)方程，求C點(diǎn)坐標(biāo)，這樣就可找到AC中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出中點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程
由，得x²-2pkx-p²=0
∴
∴•=
∴
∴∠AOB為鈍角，△ABO為鈍角三角形
（II）由（I）x₁x₂=-p2，x₁+x₂=2pk
∴==當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)
∴△ABO面積的最小值是
（III）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)方程為y=k（x-x₁）+y₁由得
x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0解得
∴切線(xiàn)方程為令x=0，得
∴線(xiàn)段AC中點(diǎn)M為（x，0）
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y=0（x≠0）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于圓錐曲線(xiàn)的常規(guī)題，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到正確解答．