Question

如圖，，現(xiàn)將△ADC沿DC邊折起，使二面角A-DC-B的大小為60°，此時(shí)直線AB與平面BCD所成角的正弦值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先作出A在面BDC上的投影，再作出二面角B-CD-A的平面角，由二面角的大小已知可求得點(diǎn)A到面BDC的距離，再求出線段AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得線面角的正弦值．
解答：解：如圖，作AF⊥面BDC于F，過(guò)F作FE⊥CD延長(zhǎng)線于E，連接AE，由作圖知AF⊥CD，
由線面垂直的判定定理知CD⊥面AEF，所以CD⊥AE，故∠AEF即二面角A-CD-B的平面角，故∠AEF=60°，
又∠ADC=150°，故∠ADE=30°，由AD=1，可得AE=，DE=
∴EF=AE×cos60°=×=，
AF=AEsin=×=
過(guò)B作BM⊥CD延長(zhǎng)線于M，由∠BDC=120°得∠BDM=60°
又BD=，故BM=，DM=，故M與E重合，
所以B，F(xiàn)，E，三點(diǎn)共線，則BF=-=
所以AB==
由上知∠ABF即線段AB與面BCD所成的角
sin∠ABF===
故應(yīng)填
點(diǎn)評(píng)：考查二面角，線面角的定義及相應(yīng)平面角的作法．