Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=

1

2

，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l與圓x²+y²=1相切且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，利用離心率和a，b與c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，進(jìn)而求得bc的關(guān)系，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）先對(duì)直線l的斜率分類(lèi)討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出

OA

•

OB

的值；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，聯(lián)立l與橢圓C的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式即可求得

OA

•

OB

的取值范圍，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，
則

a2-b2

a

=

1

2

，所以

3

a=2b、
由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，
△PF₁F₂的面積最大，故|F₁F₂|b=bc=

3

，
解得a=2，b=

3

．
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y

3

=1．
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因l與與圓x²+y²=1相切，∴l(xiāng)：x=1，此時(shí)A（1，

3

2

），
B（1，-

3

2

），∴

OA

•

OB

=1-

9

4

=-

5

4

；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，因l與與圓x²+y²=1相切，∴

|m|

1+k2

=1，整理得m²=k²+1，
聯(lián)立l與橢圓C的方程，消去y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=48（4k²+3-m²）=48（3k²+2）＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，
x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-12k2

4k2+3

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

4k2+3

+

3m2-12k2

4k2+3

=

-5(k2+1)

4k2+3

=-

5

4

-

5

4(4k2+3)

∵4k²+3≥3，
∴0＜

5

4(4k2+3)

≤

5

12

，-

5

3

≤

OA

•

OB

＜-

5

4

．
綜上，

OA

•

OB

的取值范圍是[-

5

3

，-

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．