Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx-mx的圖象與直線y=-1相切．
（Ⅰ）求m的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=ax³，設(shè)h（x）=f（x）-g（x），討論函數(shù)h（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而可求m的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，再分類討論即可得到函數(shù)零點的個數(shù)

解答 解：（ I）設(shè)f（x）的圖象與直線y=-1相切于點（x₀，-1），（x₀＞0），
f′（x）=lnx+1-m，（x＞0）
則$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（{x_0}）=0}\\{f（{x_0}）=-1}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{ln{x_0}+1-m=0}\\{{x_0}ln{x_0}-m{x_0}=-1}\end{array}}\right.$
解得：x₀=1，m=1，
由f′（x）=lnx＞0得x＞1；f′（x）=lnx＜0得0＜x＜1；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；增區(qū)間為（1，+∞），
（ II）h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-ax³=x（lnx-1-ax²）（x＞0）．
由h（x）=0得$lnx-1-a{x^2}=0即a=\frac{lnx-1}{x^2}$；
∴$函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即為函數(shù)y=a與y=\frac{lnx-1}{x^2}的圖象的交點個數(shù)$．
記函數(shù)$r（x）=\frac{lnx-1}{x^2}$，
${r^'}（x）=\frac{x-2x（lnx-1）}{x^4}=\frac{3-2lnx}{x^3}$
由r′（x）＞0得$0＜x＜{e^{\frac{3}{2}}}$；r′（x）＜0得$x＞{e^{\frac{3}{2}}}$，
∴r（x）在$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$上單調(diào)遞增；在$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$上單調(diào)遞減，
∴$r{（x）_{max}}=r（{e^{\frac{3}{2}}}）=\frac{1}{{2{e^3}}}$，
又$x∈（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$時，r（x）＞0；x∈（0，e）時，r（x）＜0；且x趨向于0時r（x）趨向于負無窮大．
∴當(dāng)a＞$\frac{1}{2{e}^{3}}$時，y=a與y=r（x）的圖象無交點，函數(shù)h（x）無零點； 
當(dāng)a≤0或a=$\frac{1}{2{e}^{3}}$時，y=a與y=r（x）的圖象恰有一個交點，函數(shù)h（x）恰有一個零點；
 當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2{e}^{3}}$時，y=a與y=r（x）的圖象恰有兩個交點，函數(shù)h（x）恰有兩個個零點．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的求法，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，屬于中檔題．