Question

已知函數f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0).

（1）當a＝0時，求f(x)的極值；

（2）當a＞0時，討論f(x)的單調性；

（3）若對任意的a∈(2,3)，x­1,x2∈[1,3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x­2)|成立，求實數m的取值范圍。

 

Answer 1

(1)的極大值為，無極小值.(3)

【解析】

試題分析：(1)求已知函數的極值,利用導數法,即求定義域,求導,求導數為0與單調區(qū)間，判斷極值點求出極值. (2) 求定義域,求導.利用數形結合思想討論導數(含參數二次不等式)的符號求f(x)的單調區(qū)間,討論二次含參數不等式注意按照定性(二次項系數是否為0),開口,判別式，兩根大小得順序依次進行討論,進而得到函數f(x)的單調性(注意單調區(qū)間為定義域的子集)(3)這是一個恒成立問題，只需要(m－ln3)a－2ln3＞(|f(x1)－f(x­2)|),故求解確定|f(x1)－f(x­2)|最大值很關鍵,分析可以發(fā)現(|f(x1)－f(x­2)|)=,故可以利用第二問單調性來求得函數的最值進而得到(|f(x1)－f(x­2)|). (m－ln3)a－2ln3＞(|f(x1)－f(x­2)|)對于任意的a∈(2, 3)恒成立,則也是一個恒成立問題,可以采用分離參數法就可以求的m的取值范圍.

試題解析：（1）當時，,由,解得 ，可知在上是增函數，在上是減函數.

∴的極大值為，無極小值.

①當時，在和上是增函數，在上是減函數；

②當時，在上是增函數；

③當時，在和上是增函數，在上是減函數 8分

（3）當時，由（2）可知在上是增函數，

∴.

由對任意的a∈(2, 3)，x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，由于當時，，∴.

考點： 導數 恒成立問題 不等式