Question

某俱樂部舉行迎圣誕活動，每位會員交50元活動費(fèi)，可享受20元的消費(fèi)，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點(diǎn)數(shù)之和為12點(diǎn)獲一等獎，獎價(jià)值為a元的獎品；點(diǎn)數(shù)之和為11或10點(diǎn)獲二等獎，獎價(jià)值為100元的獎品；點(diǎn)數(shù)之和為9或8點(diǎn)獲三等獎，獎價(jià)值為30元的獎品；點(diǎn)數(shù)之和小于8點(diǎn)的不得獎．求：
（Ⅰ）同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率；
（Ⅱ）如該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點(diǎn)數(shù)記為（x，y），其中1≤x，y≤6，則獲一等獎只有（6，6）一種可能，獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，由此能求出同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率．
（Ⅱ）設(shè)俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元，則ξ的可能取值為30-a，-70，0，30，分別求出P（ξ=30-a），P（ξ=-70），P（ξ=0），P（ξ=30）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點(diǎn)數(shù)記為（x，y），
其中1≤x，y≤6，
則獲一等獎只有（6，6）一種可能，
其概率為：

1

6

×

1

6

=

1

36

；    …（2分）
獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，
其概率為：

5

36

； …（5分）
設(shè)事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”，
則有：P（A）=

C

1 3

×

1

36

×(

5

36

)2=

25

15552

，
故同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率為

25

15552

．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元，
則ξ的可能取值為30-a，-70，0，30，
P（ξ=30-a）=

1

36

，
P（ξ=-70）=

5

36

，
Pξ=0）=

1

4

，
P（ξ=30）=

7

12

．
其分布列為：

ξ	30-a	-70	0	30
p	1 36	5 36	1 4	7 12

…（7分）
則：Eξ=(30-a)×

1

36

+(-70)×

5

36

+0×

1

4

+30×

7

12

=

310-a

36

；    …（12分）
由Eξ=0得：a=310，即一等獎可設(shè)價(jià)值為310元的獎品．
故該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，a的值就為310元．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．